Ďalšiu ranu exaktnej vede a priamo matematike zasadil v 30. rokoch 20. storočia Kurt Gödel. Matematici sa v tých časoch snažili zaviesť do dokazovania formálne pravidlá, ktoré by v podstate zabezpečili, aby dôkazy matematických tvrdení mohli zostrojiť a overiť počítače. V súčasnosti pritom už naozaj existujú softvéry, ktoré to robia.

Je to pravda, ale nemožno to dokázať

Gödel je autorom takzvanej Prvej a Druhej vete o neúplnosti. V nich dokázal, že snaha o formálny matematický systém má svoje trhliny. Prvá veta o neúplnosti hovorí, že v každej matematickej teórii, ktorá obsahuje aspoň prirodzené čísla a nejaké operácie s nimi, existuje tvrdenie, ktoré je pravdivé, ale nedá sa dokázať.

Druhá veta o neúplnosti hovorí, že konzistentná teória, čiže teória, ktorá neobsahuje tvrdenia, ktoré si protirečia, nemôže dokázať, že je konzistentná. V matematike a vede teda existujú tvrdenia, ktoré sa nedajú dokázať, ale ani vyvrátiť, keďže sú pravdivé. Veda navyše nemôže potvrdiť svoju správnosť, (čiže konzistentnosť).

Gödelove vety o neúplnosti zmenili vnímanie matematiky a vedy. Už sa ani na matematiku nepozerá ako na niečo absolútne a vždy správne. Matematika je skôr len ďalším nástrojom, ktorý môže byť užitočný pri skúmaní sveta okolo nás.

Model modelu v modeli modelu

Súčasní teoretici ako Wolpert (2008) a Rukavicka (2014) naznačujú, že ani poznávanie nie je zadarmo. Ak poznávame, utvárame si v našom mozgu model vesmíru. Ten však obsahuje aj nás. V rámci neho je teda malá časť, ktorá tento model popisuje. V rámci tejto malej časti je však opäť jej model. V rámci neho je opäť jeho model a tak ďalej. Teoreticky by sme mohli pokračovať až do nekonečna, to však nie je možné.

Pre matematicky znalejších: je možné skonštruovať sebareferenčný paradox (podobne ako sa konštruuje pri dôkaze Gödelových viet o neúplnosti)). Tak je možné ukázať, že toto poznávanie nemôže byť nikdy dokonalé a absolútne, a to ani teoreticky.

Zdanlivo je to iba akési rozšírenie Gödelových viet o neúplnosti. Avšak keď sa bližšie pozrieme na dôsledky, situácia je trocha iná. Ak utvárame nejakú teóriu, napríklad o elektrónoch, nikdy nebude úplne dokonalá a presná. Náš mozog je totiž tiež zložený z elektrónov, čo znamená, že utvárame teóriu o nás samých.

Zrejme aj to môže byť dôvod, prečo je kvantová fyzika tak neintuitívna a obsahuje toľko neurčitosti. Rovnako to ale môže byť aj dôvod, prečo sú neurovedy a psychologické vedy také náročné a neurčité.

Proti krízam teórie nezaberajú

Matematika v 20. storočí narazila na svoje limity aj v ekonómii. Nositeľ Nobelovej ceny za ekonómiu Myron Scholes, jeden z objaviteľov slávnej Black-Scholesovej formuly na oceňovanie opcií a derivátov, bol v správnej rade investičného fondu. Spolu s ním tam bol aj ďalší nositeľ Nobelovej ceny a z fondu investovali podľa ich vlastných sofistikovaných teórií.

Po troch rokov mimoriadnych výnosov však fond počas štvrtého roku svojej existencie v roku 1998 dramaticky skrachoval. Doplatil na masívne poklesy búrz počas akciových kríz v Ázii a v Rusku. Ukázalo sa, že ani sofistikované finančné modely a nástroje nedokážu odolávať a predchádzať krízam.

Prílišné spoliehanie sa na zjednodušené matematické modely môže viesť v kríze naopak k ešte väčším stratám.

V povojnovom svete sa tiež spomalilo objavovanie dôležitých vynálezov. Medzi významné povojnové vynálezy patrili polovodiče a tranzistory, ktoré umožnili miniaturizáciu. Počítač, ktorý v 60. rokoch 20. storočia zaberal veľkú miestnosť, sa tak dnes vojde do náramkových hodiniek. Ďalej to boli atómová energia, vesmírne lety, genetika, počítače, či internet a mobilné telefóny.

Replika prvého plne automatického počítača Zuse Z3 v múzeu v Mníchove-. Zdroj: wikimedia.commons.org/Venusianer

Počet týchto vynálezov je porovnateľný s počtom objavov počas podobne dlhého obdobia koncom 19. storočia. Rozhodne sa však rýchlosť ich objavovania exponenciálne nezvyšovala, a preto sa uvádza, že technologická revolúcia skončila. Dobe od druhej svetovej vojny sa následne dávajú iné označenia. Mne sa osobne najviac pozdáva Digitálna revolúcia, keďže exponenciálny rast v digitálnom svete stále nejakým spôsobom pretrváva.

Radšej postoj ako teórie

V matematike boli koncom minulého a začiatkom tohto storočia dokázané a vyriešené niektoré slávne dlhoročné problémy. Riešenie však bolo zvyčajne extrémne náročné na znalosť pokročilých teórií a niekedy bola veľká časť z neho dosiahnutá vďaka počítačom.

Tak sa podarilo nájsť aj definitívny dôkaz vety o štyroch farbách. Problém formulovaný niekedy v roku 1840 bol finálne vyriešený pomocou počítačov, ktoré preskúmali veľké množstvo situácií, v roku 1989.

Veľká Fermatova veta, problém formulovaný Fermatom v roku 1637 bol vyriešený pomocou veľmi pokročilých teórií v roku 1994. Poincarého hypotéza formulovaná okolo roku 1900 bola vyriešená v roku 2003.

Aj keď tieto dokázané tvrdenia vyvolali v matematickej komunite ohlas, na život mimo nej nemali takmer žiadny dopad. Oveľa väčší ohlas mal medzi bežnými ľuďmi napríklad životný postoj matematika Pereľmana, ktorý vyriešil Poincarého hypotézu, ale odmietol za ňu všetky ceny, vrátane tých finančných (čo bolo aj niekoľko miliónov dolárov).

Matematik excentrik a veľký tresk

Za akýsi prototyp matematika 20. storočia by sa dal považovať Pál Erdös (1913 – 1996). Erdös napísal vyše 1500 matematických článkov, čím sa stal najtvorivejším autorom v matematickej komunite. Cestoval po svete, kde na nich spolupracoval s rôznymi inými matematikmi.

Jeho práce mali vyše 500 spoluautorov. Väčšinou sa na jednom mieste zdržal len kým nevyriešil problém a potom išiel ďalej. Pre svoju tvorivosť a excentrický štýl života bol v matematickej komunite dobre známy, no medzi bežnými ľuďmi ho poznal len málokto.

Okrem objavu, že každá vedecká teória v sebe musí zákonite obsahovať neurčitosť, bol pre filozofiu vedy a filozofiu všeobecne dôležitý objav teórie Veľkého tresku. Tá sa začala rysovať v 20. rokoch 20. storočia, kedy súperila s teóriou o stálom vesmíre. Postupne sa však našlo niekoľko dôkazov, ktoré ju potvrdili.

História vesmíru. Zdroj: wikimedia.commons.org/Yinweichen

Medzi najvýznamnejšie patrí rozpínanie vesmíru, ktoré stále pozorujeme. Z neho vyplýva, že vesmír sa začal rozpínať v minulosti – z jedného bodu extrémnej teploty a hustoty. Ďalším dôkazom je reliktové, či pozostatkové žiarenie. Ak by vesmír vznikol výbuchom, museli by po tomto výbuchu zostať stopy vo forme žiarenia. Toto žiarenie naozaj pozorujeme – prichádza k nám zo všetkých častí vesmíru.

Existuje ešte niekoľko dôkazov, ktoré túto teóriu potvrdzujú a existuje aj niekoľko otvorených problémov. Časť z nich sa podarilo vyriešiť úpravou teórie, časť je stále otvorená. Medzi najznámejších zástancov a prispievateľov k tejto teórii patrí Stephen Hawking.

Jeden z najznámejších fyzikov dnešnej doby. Zdroj: NASA/Jim Campbell/Aero-News Network

Storočie odhalenia limitov

Keď to teda zhrniem, počas 20. storočia sa v teoretickej vede a v matematike zistilo, že každá vedecká teória musí nutne obsahovať neurčitosť. Niektoré javy nevieme presne predpovedať a niekedy si musíme povedať: „je to 50 na 50“.

V matematike existujú tvrdenia, ktoré sa nedajú dokázať, ani vyvrátiť. Takisto matematika a veda obsahujúca matematiku nemôžu potvrdiť svoju správnosť, respektíve bezspornosť. Tým narazili matematika a veda na svoje limity.

Čo sa týka praktických vynálezov, ich vznik aj naďalej pokračoval tempom porovnateľným s predchádzajúcim obdobím. Keďže sa však vedecká komunita po predchádzajúcich úspechoch rozvíjala exponenciálne, ide v podstate o stagnáciu, či dokonca mierny pokles. Náklady totiž stále rástli exponenciálne, no výsledky len lineárne.

Celková životná úroveň a populácia naďalej rástli výrazným tempom – okrem období vojen a niekoľkých kríz. Význam objavov pre spoločnosť bol tak stále veľmi pozitívny. Aj keď rast životnej úrovne nespôsoboval len technologický pokrok, ale aj iné faktory, ako budovanie občianskych inštitúcií, medzinárodný obchod, zlepšovanie práv a slobôd jednotlivcov a ďalšie.

Koncom storočia sa však rast v niektorých vyspelých krajinách spomalil a rýchlejší rast nastáva u iných, rozvíjajúcich sa krajín, ktoré tie vyspelé začali dobiehať.